Membuktikan Proposisi Menggunakan Induksi Matematika

    Pada kesempatan kali ini penulis ingin membagikan cara pembuktian suatu proposisi menggunakan induksi matematika. Untuk membuktian proposisi tersebut menggunakan induksi matematika digunakan oleh dua langkah. Pertama, basis induksi. Kedua, langkah induksi. Hal ini tidak boleh terbalik, karena ini merupakan langkah.

Perlu diingat!
Bahwa induksi matematika adalah suatu cara pembuktian proposisi yang hanya menyangkut bilangan bulat. 

Ingat! 
Untuk membuktikan proposisi menggunakan induksi matematika maka basis induksi dan langkah induksi wajib ada keduanya. Tidak bisa hanya salah satu nya saja.

Contoh 1
Andaikan p(n) menyatakan proposisi untuk 1, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah, yaitu 
1 + 2 + 3 + ... + n =

Kita harus membuktikan kebenaran posisi ini dengan dua langkah induksi sebagai berikut:

a) Basis Induksi 

Untuk p(1) benar, karena untuk n = 1 diperoleh :


apabila ruas kanan dan kiri hasilnya sama maka pembuktian menggunakan menggunakan basis induksi terbukti benar. 

Selanjutnya yang perlu dibuktikan menggunakan langkah induksi. 

b) Langkah Induksi
misalkan p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n = adalah benar. Perlu diperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

 n diganti menjadi n+1 hal ini selalu.

Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa:


karena diatas diketahui bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n = maka 1 + 2 + 3 + ... + n diganti menjadi sehingga dapat dihitung sebagai berikut:

 

ruas kanan dan kiri sama, sehingga terbukti benar.

Contoh 2

Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

Jawaban :
Berarti p(n) yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

a) Basis Induksi

p(1) benar, karena untuk n = 1 diperoleh:

p(1) = n2
1 =  12
1 = 1     (terbukti benar)

b) Langkah Induksi 

p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa p (n + 1) diperoleh:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ( 2 (n+1) - 1)= (n + 1)2

n2 + ( (2n + 2) - 1)= (n + 1)2

n2 + ( 2n + 2 - 1)= (n + 1)2

n2 + ( 2n + 1)= (n + 1)2

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

(n + 1) (n + 1) = (n + 1)2

(n + 1)2 = (n + 1)2       (terbukti benar)



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Memperkenalkan Definisi Sebagai Landasan Geometri Matematika

Gambar
Pengertian Definisi      Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), definisi adalah kalimat yang mengungkapkan makna, keterangan, atau ciri utama dari orang, benda, proses, atau aktivitas. Sehingga kalimat definisi adalah rangkaian kata yang bertujuan menjelaskan baik arti maupun makna suatu obyek.     Biasa yang kita sering temui adalah bentuk definisi-definisi yang menjelaskan suatu objek. Hal ini pun sama artinya dengan apa yang akan kita bahas pada pertemuan kali ini.      Untuk membuktikan suatu geometri matematika, apakah itu terbukti atau tidak dapat menggunakan definisi. Definisi dalam geometri matematika ada 23.       Selain itu, definisi juga suatu ungkapan/kalimat yang perlu dibuktikan kebenarannya. Dan ini juga perlu diketahui oleh semua anak matematika karena ini merupakan landasan geometri/bangun datar dan bangun ruang.  Untuk itu mari kita simak, apa saja definisi 1 sampai 23! _____________________________...
Baca selengkapnya

Logika Matematika; Konvers

Gambar
Dalam matematika pasti kita tidak lepas dari berpikir. Berpikir matematika merupakan sebuah proses untuk menyelesaikan semua persoalan matematika dengan baik dan benar menggunakan logika manusia. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Sejak sekolah dasar sampai perguruan tinggi kita biasa bertarung pada cara berpikir dengan logika. Logika ini lah yang kita perlukan dan menjadi suatu kewajiban saat menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut dengan Logika Matematika. Pada kali ini penulis akan membahas apa saja yang terdapat dalam logika matematika. Diantaranya ada konvers, invers dan kontraposisi. Pada artikel kali ini penulis akan membahasan konvers terlebih dahulu.  ________________________________________________________________________________________________ 1. Pengertian Konvers adalah pernyataan implikasi yang dibentuk dari suatu implikasi tertentu dengan cara menukar posisi pernyataan komponennya. Konvers adalah cara m...
Baca selengkapnya

Essay Singkat Filsafat Ilmu: Suatu Kajian dalam Dimensi Ontologis, Epistemologis, dan Aksiologis

Gambar
Buku "Filsafat Ilmu: Suatu Kajian dalam Dimensi Ontologis, Epistemologis, dan Aksiologis" karya Drs. A. Susanto merupakan salah satu karya penting dalam bidang filsafat ilmu yang menawarkan pandangan mendalam tentang tiga dimensi utama yang membentuk dasar dari studi ilmu pengetahuan. Buku ini tidak hanya membahas aspek teoritis, tetapi juga memberikan pandangan praktis tentang bagaimana ilmu pengetahuan harus dikembangkan dan diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Melalui kajian yang komprehensif, Drs. A. Susanto berhasil menyusun sebuah framework yang kuat dan relevan bagi para akademisi, peneliti, dan praktisi ilmu pengetahuan. Dimensi ontologis dalam filsafat ilmu berkaitan dengan pertanyaan tentang apa yang ada. Ontologi adalah studi tentang eksistensi dan realitas. Dalam bukunya, Susanto menguraikan berbagai pandangan filosofis tentang hakikat realitas, mulai dari realisme, yang menganggap bahwa realitas ada secara independen dari persepsi kita, hingga idealisme, ya...
Baca selengkapnya